关于三角形垂心与内心的一个问题

设H,I分别是三角形ABC的垂心和内心.求证 AH+BH+CH≥AI+BI+CI.证明 因为AH=2RcosA,AI=√[bc(s-a)/s]所以 AH+BH+CH=2(R+r)根据已知不等式:4R^2+4Rr+3r^2≥s^2得 4(R+r)^2≥bc+ca+ab ∵∑sin(A/2)≤3/2<==>3abc≥2∑a√[bc(s-b)(s-c)]∴(AI+BI+CI)^2=∑bc-3abc/s+2∑a√[bc(s-b)(s-c)]/s≤bc+ca+ab.故得4(R+r)^2≥bc+ca+ab≥(AI+BI+CI)^2 收起