如图所示，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB，交AB与点E，连接AD,BD(1)写出图中所有相似三角形；如图根据同弧所对的圆周角相等，可以得到：∠ACD=∠ABD、∠BCD=∠BAD、∠ABC=∠ADC、∠BAC=∠BDC又，由对顶角相等得到：∠AEC=∠BED、∠AED=∠CEB所以，△CEA∽△BED、△CEB∽△AED(2)求(AC+BC)/CD的值已知∠ACB=9 展开
如图所示，⊙O是⊿ABC的外接圆，∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB，交AB与点E，连接AD,BD(1)写出图中所有相似三角形；如图根据同弧所对的圆周角相等，可以得到：∠ACD=∠ABD、∠BCD=∠BAD、∠ABC=∠ADC、∠BAC=∠BDC又，由对顶角相等得到：∠AEC=∠BED、∠AED=∠CEB所以，△CEA∽△BED、△CEB∽△AED(2)求(AC+BC)/CD的值已知∠ACB=90°，所以AB为圆O的直径所以，∠ADB=90°又，CD为∠ACB的角平分线所以，∠ACD=∠BCD=45°所以，∠BAD=∠ABD=45°即，△ADB为等腰直角三角形在Rt△ACB中，设AC=b，BC=a则，由勾股定理有：AB^2=AC^2+BC^2=a^2+b^2所以，AB=√(a^2+b^2)所以，在等腰直角三角形ADB中，AD=BD=AB/√2=√(a^2+b^2)/√2且，因为CD为∠ACB的平分线所以，在△ACB中，有：AC/BC=AE/BE所以，AE/BE=a/b而，AE+BE=AB=√(a^2+b^2)所以：AE=b√(a^2+b^2)/(a+b)、BE=a√(a^2+b^2)/(a+b)由(1)的结论知：△CEA∽△BED、△CEB∽△AED所以：CE/BE=AC/BD则，CE=(BE*AC)/BD=[a√(a^2+b^2)/(a+b)]*b/[√(a^2+b^2)/√2]=√2(ab)/(a+b)…………………………………………（1）同理，AE/DE=AC/BD则，DE=(AE*BD)/AC=[b√(a^2+b^2)/(a+b)]*[√(a^2+b^2)/√2]/b=(a^2+b^2)/[√2(a+b)]…………………………………（2）所以，由(1)(2)得到：CD=CE+DE=√2(ab)/(a+b)+(a^2+b^2)/[√2(a+b)]=(a^2+b^2+2ab)/[√2(a+b)]=(a+b)^2/[√2(a+b)]=(a+b)/√2……………………………………………………（3）则：(AC+BC)/CD=(a+b)/[(a+b)/√2]=√2特别地，当△ACB也是等腰直角三角形时，最后得到的四边形ACBD就是一个正方形，此时，CD也是圆O的直径则，设AC=BC=a那么，由勾股定理知，圆O的直径=√2a即，CD=√2a所以，(AC+BC)/CD=(a+a)/√(2a）=√2 收起
