否存在一个自然数n?

自然数n的数字和用S(n)来表示，是否存在一个自然数n，使得n+S(n)=1980。你是否写错了？ 1890有解。解 S(n)=n(n=1)/2，所以满足:n+S(n)=k k为自然数.<==>n^2+3n-2k=0 (1)n有整数解的,则 8k+9必须是完全平方数，设8k+9=(2m+3)^2 m为自然数<==>2k=m(m+3) (2)将(2)式代入(1)得:n^2+3n-m(m+3)=0<==>(n+m+3)*(n-m)=0下面给出具体数据:当m=n=1, k=2;m=n=2, k=5;m=n=3, k=9;m=n=4, k=14;m=n=5, k=20;m=n=7, k=35;m=n=9, k=54;m=n=60,k=1890m=n=61,k=1952;m=n=62,k=2015.所以我怀疑提问者把1890写错成1980。当n=60时，即60+60*(60+1)/2=1890. 收起

S(n)不会太大，n最大9999S(n)最大为36所以 n应该是4位数 n为4位数，n可表示为1000a+100b+10c+d S(n)=a+b+c+d n+S（n)=1980 1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1980 1001a+101b+11c+2d=1980 因为abcd均为正整数，所以a最大为1 1001+101b+11c+2d=1980 101b+11c+2d=979 若b=9 11c+2d=70 当c=6则d=2 c=5则d=7.5舍 c=4则d=13舍 以下d超过9全舍 若b=8 11c+2d=171 当c=9则d=36舍 以下d超过9全舍 所以b最小为9 综上，得此题仅一解，为1962 收起