如何向交通事故责任方索赔?

本人在北京近日开车与另一车发生碰撞，对方全责，交警快速处理，对方已通过其保险公司赔付修车款，请问我还能否就车辆折旧、误工及因修车造成的交通不便如出租车费等要求索赔（私家车非运营车辆）？是去法院起诉还是去交通管理部门？我应该提供何证据证明？哪位朋友清楚请详细讲解，多谢了！