矩阵A有为0的特征值,那么它的伴随矩阵对应的那个特征值还存在么?

如果矩阵A有为0的特征值,那么它的伴随矩阵A^*只有2种可能。1.R(A)<n-1==>A^*=02.R(A)=n-1A^*又有2种可能。ⅰ。0是A的特征多项式的重根，则A^*只有0为特征值。ⅱ。0是A的特征多项式的单根，则A^*有0为特征值，为其特征多项式的n-1重根,另外有一个非零特征值=A的n-1个非零特征值的积。补：1.A的特征多项式=|λE-A|=f(λ),如果矩阵A有为0的特征值,则f(λ)=λ^a*g(λ),其中a>0,g(0)≠0.这里a是0的算术重数，和R(A)的关系只是：a>0《==》R(A)<n.只有0的几何重数，和R(A)的关系：0的几何重数+R(A)=n因此R(A)=n-1时，a可以是1到n的任意数。2.A^*只有0为特征值不是A^*=0的意思，如：0，10，03.R(A^*)=1的情况下，在前面2.中A^*特征值与A的关系已说清楚了。A^*特征向量的关系是：ⅰ。 0是A的特征多项式的重根，则A^*只有0的特征空间=Im(A),即A^*特征向量=AX,X为n维向量。ⅱ。0是A的特征多项式的单根，A^*有0的特征空间=Im(A),另外有一个非零特征值a的特征空间==A的0的特征空间={X,AX=0}. 收起