关于费马点的面积问题

关于费马点的面积问题 在最大角小于120°的△ABC中，P为费马点，AP，BP，CP延长后分别交对边于D，E，F. 过P点作PK⊥BC，PM⊥CA，PN⊥AB，分别交BC，CA，AB于可，K，M，N，记△DEF的面积为S1，△KMN的面积为S2。试比较S1和S2的大小。 简证如下 设R表示三角形的外接圆半径.令PA=x, PB=y, PC=z, 则 PD=yz/(y+z), PE=zx/(z+x), PF=xy/(x+y), BC=√(y^2+z^2+yz), CA=√(z^2+x^2+zx),AB=√(x^2+y^2+xy)。 PK=√3*yz/[2√(y^2+z^2+yz)];PM=√3*zx/[2√(z^2+x^2+zx)];PN=√3*xy/[2√(x^2+y^2+xy)] 。根据上述各表示式可求得:S1=√3*xyz(yz+zx+xy)/[2(y+z)*(z+x)*(x+y)] (1)S2=3xyz(x+y+z)*(yz+zx+xy)/[16R*√(y^2+z^2+yz)(z^2+x^2+zx)(x^2+y^2+xy)] (2)注意恒等式:R=[√(y^2+z^2+yz)(z^2+x^2+zx)(x^2+y^2+xy)]/[√3*(yz+zx+xy)] (3)所以得:S2=3√3*xyz(x+y+z)*(yz+zx+xy)^2/[16(y^2+z^2+yz)(z^2+x^2+zx)(x^2+y^2+xy)] (4)下面来证明，S1≥S2，据(1),(4)所证不等式等价于8(y^2+z^2+yz)(z^2+x^2+zx)(x^2+y^2+xy)≥3(x+y+z)*(yz+zx+xy)*(y+z)*(z+x)*(x+y) (5)因为 y^2+z^2+yz≥3(y+z)^2/4, z^2+x^2+zx≥3(z+x)^2/4, x^2+y^2+xy≥3(x+y)^2/4.9(y+z)*(z+x)*(x+y)≥8(x+y+z)*(yz+zx+xy) ，所以 8(y^2+z^2+yz)(z^2+x^2+zx)(x^2+y^2+xy)≥(27/8)[(y+z)*(z+x)*(x+y)]^2≥3(x+y+z)*(yz+zx+xy)*(y+z)*(z+x)*(x+y) 。因此S1≥S2,证毕. 收起