证明C[a,b]的完备化空间是L[a,b]

由于L[a,b]是完备空间，只需证明C[a,b]在L[a,b]中稠密。1.对于任意f∈L[a,b],任意ε>0,简单函数g(x)=c1χ(E1,x)+...+ctχ(Et,x),使∫{[a,b]}|g(x)-f(x)|dx<ε/2,取A=max{|ci|,1≤i≤t}==>|g(x)|≤A,x∈[a,b],2.根据Lusin定理得：有h∈C[a,b],使m({x,g(x)≠h(x)})<ε/(4A),且|h(x)|≤A,x∈[a,b].设E={x,g(x)≠h(x)})==>∫{[a,b]}|g(x)-h(x)|dx==∫{E}|g(x)-h(x)|dx<2Am(E)<ε/2==>||f-h||=∫{[a,b]}|f(x)-h(x)|dx<ε.所以C[a,b]在L[a,b]中稠密。 收起